หน้าแรก การเรียนการสอน การวิจัยเพื่อพัฒนาการเรียนการสอน การวิจัยเพื่อพัฒนาการเรียนการสอน รูปแบบข้อผิดพลาดในการทำโจทย์คณิตศาสตร์หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์
รูปแบบข้อผิดพลาดในการทำโจทย์คณิตศาสตร์หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์ พิมพ์ อีเมล
การนำไปใช้ประโยชน์: / 2
แย่ดี 
การเรียนการสอน/การวิจัยเพื่อพัฒนาการเรียนการสอน
เขียนโดย ภาควิชาคณิตศาสตร์   
วันอังคารที่ ๑๕ กรกฏาคม พ.ศ. ๒๕๕๑ เวลา ๐๙:๔๑ น.
เผยแพร่ - วันอังคารที่ ๑๕ กรกฏาคม พ.ศ. ๒๕๕๑
ที่มา

ปริพันธ์ (integral) เป็นเนื้อหาสำคัญของแคลคูลัส การทำโจทย์ที่เกี่ยวกับการหาปริพันธ์ได้ถูกต้องอาศัยความรู้ความเข้าใจในเนื้อหาหลายเรื่อง ได้แก่ ฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ การหาอนุพันธ์ การหาปริพันธ์ระดับ พื้นฐานของฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ เทคนิคการหาปริพันธ์ และการประยุกต์เทคนิคการหาปริพันธ์ ในปัจจุบันแม้ว่าจะมีเครื่องคำนวณ หรือโปรแกรมสำเร็จรูปที่สามารถช่วยในการคำนวณหาปริพันธ์ แต่การคำนวณดังกล่าวมีประโยชน์มากที่สุดสำหรับปัญหาที่เกี่ยวกับปริพันธ์จำกัดเขต สำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขตนั้น นักศึกษายังมีความจำเป็นต้องมีความรู้ความเข้าใจ และต้องสามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับหนึ่ง เพราะการหาคำตอบที่อยู่ในรูปฟังก์ชันยังมีความสำคัญต่อการศึกษาเนื้อหาทางวิศวกรรมศาสตร์ และงานวิจัยหรืองานนวัตกรรมใหม่ ๆ ในหลายสาขา หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์จึงเป็นเนื้อหาสำคัญเนื้อหาหนึ่งในวิชาแคลคูลัส ในการเรียนการสอนที่ผ่านมา มีนักศึกษาที่ผิดพลาดในการทำโจทย์หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์อยู่เสมอ ทำให้ต้องการศึกษาว่านักศึกษาทำผิดโดยวิธีใดและอย่างไร งานวิจัยเรื่องนี้จึงศึกษาวิธีการในการทำโจทย์คณิตศาสตร์หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์ของนักศึกษาปีที่ 1 คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานคร โดยวิเคราะห์การทำโจทย์ของนักศึกษากลุ่มที่ทำผิด เพื่อหาว่ามีข้อผิดพลาดอย่างไรบ้าง ข้อผิดพลาดที่พบอยู่ในรูปแบบใดบ้าง และเสนอแนะแนวทางแก้ไขปรับปรุงการเรียนการสอนต่อไป

รายละเอียด

เครื่องมือ

เครื่องมือที่ใช้ในการศึกษา คือ ข้อสอบประจำภาคการศึกษา 1/2550 วิชา MATH0110 Mathematics I (Lec) โดยศึกษาผลการทำข้อสอบเฉพาะข้อที่วัดความรู้หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์ ประกอบด้วย ข้อสอบอัตนัย จำนวน 3 ข้อ และ ข้อสอบปรนัยชนิด 4 ตัวเลือก จำนวน 10 ข้อ คณะผู้สอนวิชา MATH0110 Mathematics I (Lec) เป็นผู้สร้างและพิจารณาข้อสอบทั้งฉบับร่วมกัน
เนื้อหาในหัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์ มี 5 หัวข้อย่อย คือ(1) การหาปริพันธ์โดยแทนค่า (Integration by Substitution)(2) การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน (Integration by Parts)(3) การหาปริพันธ์เมื่อปริพัทธ์ (integrand) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ(4) การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ(5) การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย สำหรับการจำแนกข้อสอบที่เกี่ยวกับเทคนิคการหาปริพันธ์ ตามวิธีที่กล่าวถึงในแต่ละหัวข้อสามารถจำแนกได้ ดังตารางที่ 1 ต่อไปนี้ ตารางที่ 1 ข้อสอบและเนื้อหาเทคนิคการหาปริพันธ์ที่วัด
ข้อที่เนื้อหาที่วัด
ข้อสอบอัตนัย
1.การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน โดยมีฟังก์ชันลอการิทึมในปริพัทธ์
2.การหาปริพันธ์โดยแทนค่า และ การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน โดยมีฟังก์ชันลอการิทึมในปริพัทธ์
3.การหาปริพันธ์ที่มีการจัดรูปพหุนาม (ไม่ได้ใช้เทคนิคใด ๆ)
ข้อสอบปรนัย
1.การหาปริพันธ์โดยแทนค่า
2.การหาปริพันธ์โดยแทนค่า
3.การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน
4.การหาปริพันธ์เมื่อปริพัทธ์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ
5.การหาปริพันธ์เมื่อปริพัทธ์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ
6.การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7.การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
8.การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
9.การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย
10.การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย

ประชากร

ประชากรในการศึกษา คือ นักศึกษาปีที่ 1 คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานคร ที่เข้าสอบประจำภาคการศึกษา 1/2550 วิชา MATH0110 Mathematics I (Lec) จำนวน 1,372 คน


วิธีเก็บข้อมูล1. คณะผู้สอนร่วมกันพิจารณาวิธีที่นักศึกษาใช้ในการหาคำตอบของข้อสอบอัตนัย โดยแต่ละข้อแยกเป็น- วิธีทำที่ถูกต้อง และได้คำตอบถูกต้อง- วิธีทำที่เริ่มได้ถูกต้อง แต่คำตอบผิด- วิธีทำที่ผิดที่คาดว่านักศึกษาจะใช้ 1 – 3 วิธี- กรณีที่การทำข้อสอบผิดอาจเกิดจากพื้นฐานความรู้ทางคณิตศาสตร์ แยกเก็บข้อมูลสำหรับพื้นฐานแต่ละเรื่องด้วย2. เก็บรวบรวมข้อมูลจากกระดาษคำตอบของนักศึกษา แล้วนำมาบันทึกดังนี้- ข้อสอบอัตนัย บันทึกว่านักศึกษาได้คะแนนเต็ม หรือ นักศึกษาทำผิด หากทำผิดนักศึกษาใช้วิธีใดทำข้อสอบ และบันทึกตัวอย่างการทำงานของนักศึกษาที่ใช้วิธีต่าง ๆ ซึ่งมีผลทำให้ได้คำตอบที่ผิด- ข้อสอบปรนัย บันทึกว่านักศึกษาเลือกตัวเลือกใด และ เป็นตัวเลือกที่ถูก หรือ เป็นตัวเลือกผิด การวิเคราะห์ข้อมูล สำหรับวัตถุประสงค์ในการวิจัยข้อ (1) ดำเนินการวิเคราะห์ข้อมูลดังนี้1. ข้อสอบอัตนัย แต่ละข้อ วิเคราะห์ร้อยละของนักศึกษาที่ทำข้อสอบเทียบกับนักศึกษาที่เข้าสอบร้อยละของนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มเทียบกับนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนั้น ๆ สำหรับนักศึกษาที่ทำผิด หาร้อยละของนักศึกษาที่ใช้วิธีต่าง ๆ แล้วหาค่าความยากง่าย และ หาค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบรายข้อ2. ข้อสอบปรนัย แต่ละข้อ วิเคราะห์ร้อยละของนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็ม และ ร้อยละของนักศึกษาที่เลือกตัวเลือกต่าง ๆ เทียบกับนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนั้น ๆ หาค่าความยากง่าย และ หาค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบรายข้อ รวมทั้งวิเคราะห์สาเหตุที่ทำให้ตัวเลือกเป็นตัวเลือกที่ผิด ผลการวิเคราะห์ข้อมูล 1. การวิเคราะห์ข้อสอบอัตนัย 1.1 จากกระดาษคำตอบข้อสอบอัตนัยของนักศึกษาที่เข้าสอบจำนวน 1,372 คน พบว่านักศึกษาที่ทำข้อสอบรายข้อ นักศึกษาที่ได้คะแนนเต็ม นักศึกษาที่ไม่ได้คะแนนเต็ม มีจำนวนและร้อยละดังในตารางที่ 2
ตารางที่ 2 จำนวนและร้อยละของนักศึกษาในการทำข้อสอบอัตนัย นักศึกษาจำนวน 1,372 คน
ประเภทของข้อมูลจำนวน ร้อยละ
นักศึกษาที่ทำข้อสอบ ข้อที่ 1. ข้อที่ 2. ข้อที่ 3. 1,1289681,032 82.2270.5575.22
นักศึกษาที่ไม่ทำข้อสอบ ข้อที่ 1. ข้อที่ 2. ข้อที่ 3. 244404340 17.7829.4524.78
นักศึกษาที่ทำและได้คะแนนเต็ม ข้อที่ 1. ข้อที่ 2. ข้อที่ 3. 297188124 26.3319.4212.02
นักศึกษาที่ทำแต่ไม่ได้คะแนนเต็ม ข้อที่ 1. ข้อที่ 2. ข้อที่ 3. 831780908 73.6780.5887.98
นักศึกษาที่ไม่ทำทุกข้อ นักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มทุกข้อ นักศึกษาที่ได้คะแนนศูนย์ทุกข้อ18354397 13.343.9428.94
จากตารางที่ 2 นักศึกษาที่ทำข้อสอบแต่ละข้อ มีร้อยละ 70.55 – 82.22 ของนักศึกษาที่เข้าสอบและเมื่อพิจารณาผลการทำข้อสอบอัตนัยเทียบกับจำนวนนักศึกษาที่ทำข้อสอบแต่ละข้อ ร้อยละของนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มในข้อที่ 1. มีมากเป็นอันดับที่ 1 (26.33%) อันดับที่ 2 คือร้อยละของนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มในข้อที่ 2. (19.42%) และ อันดับที่ 3 คือร้อยละของนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มในข้อที่ 3. (12.02%) ส่วนนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มทั้งสามข้อมี 3.94% และนักศึกษาที่ได้คะแนนศูนย์ทุกข้อมี 28.94% 1.2 ในการทำข้อสอบอัตนัยข้อที่ 1. วิธีที่ให้คำตอบถูกต้องคือวิธีแยกส่วน ผลการวิเคราะห์ข้อมูลพบว่ามีนักศึกษาที่ทำโจทย์ข้อนี้จำนวน 1,128 คน (82.22% ของผู้เข้าสอบ) ในจำนวนนี้ มีนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มจำนวน 297 คน (26.33% ของผู้ที่ทำข้อสอบ) นักศึกษาที่ไม่ได้คะแนนเต็มจำนวน 831 คน (73.67% ของผู้ที่
ทำข้อสอบ) เมื่อศึกษาวิธีที่ได้คำตอบผิดที่นักศึกษาใช้จำนวน 4 วิธี จำนวนและร้อยละของนักศึกษาที่ใช้วิธีต่าง ๆ ปรากฏดังในตารางที่ 3 ตารางที่ 3 จำนวนและร้อยละของนักศึกษาที่ใช้วิธีต่าง ๆ คิดจากนักศึกษาที่ไม่ได้คะแนนเต็ม ในการ ทำข้อสอบอัตนัย ข้อที่ 1. นักศึกษาจำนวน 831 คน
ประเภทของข้อมูลจำนวน ร้อยละ อันดับที่
นักศึกษาที่ใช้· วิธีแยกส่วน ซึ่งมี u และ dv ถูกต้อง 320 38.51 1
· วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีแทนค่าและแยกส่วน269 32.37 2
· วิธีแทนค่า123 14.80 3
· วิธีแยกส่วน ซึ่งมี u และ dv ผิด119 14.32 4
รวม831 100.00
สำหรับวิธีที่ได้คำตอบที่ผิดที่นักศึกษาใช้ พบว่านักศึกษาใช้ 2 วิธีเป็นจำนวนมากใกล้เคียงกัน เป็นอันดับที่ 1 – 2 คือ(1) วิธีแยกส่วน ซึ่งมี u และ dv ถูกต้อง (38.51%) โดยเริ่มการทำงานได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถดำเนินการต่อจนได้คำตอบที่ถูก(2) วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีแทนค่าและแยกส่วน (32.37%) ซึ่งวิธีที่กลุ่มนี้ใช้เป็นวิธีที่ไม่สามารถให้คำตอบที่ถูกได้เลย สำหรับอีก 2 วิธี คือ วิธีแทนค่ามีนักศึกษาที่ทำผิดใช้วิธีนี้ 14.80% และมีนักศึกษาที่ใช้วิธีแยกส่วน ซึ่งมี u และ dv ผิด 14.32% เมื่อพิจารณาว่าวิธีที่ให้คำตอบถูกต้อง คือ วิธีแยกส่วน ถ้ารวมกลุ่มนักศึกษาที่ทำโจทย์ข้อนี้ได้คะแนนเต็ม กับกลุ่มที่ใช้วิธีแยกส่วน มี u และ dv ถูกต้อง จะมีจำนวน 617 คน (54.70% ของนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนี้ หรือ คิดเป็น 44.97% ของนักศึกษาที่เข้าสอบ) 1.3 สำหรับข้อสอบอัตนัยข้อที่ 2. วิธีที่ให้คำตอบถูกต้อง คือ วิธีแทนค่า และวิธีแยกส่วน โดยวิธีแทนค่าเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่า และข้อนี้ต้องใช้พื้นฐานความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมด้วย การวิเคราะห์ข้อมูลของข้อนี้พบว่า มีนักศึกษาที่ทำโจทย์ข้อนี้จำนวน 968 คน (70.55% ของนักศึกษาที่เข้าสอบ) ในจำนวนที่ทำข้อสอบ มีนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มจำนวน 188 คน (19.42% ของนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนี้) นักศึกษาที่ไม่ได้คะแนนเต็มจำนวน 780 คน (80.58% ของนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนี้) การศึกษาวิธีทำของนักศึกษากลุ่มที่ทำผิด ได้พิจารณาข้อมูลของวิธีที่ใช้ 4 วิธี และ ศึกษาด้วยว่าการทำผิดเกิดจากความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมด้วยหรือไม่ พบว่ามีจำนวนและร้อยละของนักศึกษาในกรณีต่าง ๆ ดังในตารางที่ 4
ตารางที่ 4 จำนวนและร้อยละของนักศึกษาที่ใช้วิธีต่าง ๆ คิดจากนักศึกษาที่ไม่ได้คะแนนเต็ม ในการ ทำข้อสอบอัตนัย ข้อที่ 2. นักศึกษาจำนวน 780 คน
ประเภทของข้อมูลจำนวน ร้อยละ อันดับที่
นักศึกษาที่ใช้· วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีแทนค่าและแยกส่วน เท่านั้น 155 19.87 1
· วิธีแทนค่า ซึ่งมีการสมมุติ u ผิด เท่านั้น148 18.97 2
· วิธีแทนค่า ซึ่งมีการสมมุติ u ถูกต้อง เท่านั้น141 18.08 3
· วิธีแยกส่วน เท่านั้น124 15.90 4
· วิธีที่มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้น6 0.77 -
· วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีแทนค่าและแยกส่วน และ มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึม95 12.18 -
· วิธีแทนค่า ซึ่งมีการสมมุติ u ผิด และ มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึม80 10.26 -
· วิธีแทนค่า ซึ่งมีการสมมุติ u ถูกต้อง และ มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึม19 2.44 -
· วิธีแยกส่วน และ มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึม12 1.54 -
รวม780 100.00
ข้อมูลในตารางที่ 4 สะท้อนว่า นักศึกษาที่ใช้วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีแทนค่าและแยกส่วน มีจำนวนมากเป็นอันดับที่ 1 (19.87%) เมื่อรวมนักศึกษากลุ่มดังกล่าวนี้กับอีกกลุ่มหนึ่งที่ใช้วิธีเดียวกันและมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมด้วย จำนวนจะมากถึง 250 คน (32.05%)วิธีที่นักศึกษาที่ทำผิดใช้มากเป็นอันดับที่ 2 คือวิธีแทนค่า ซึ่งมีการสมมุติ u ผิด เมื่อรวมจำนวนนักศึกษากลุ่มที่ใช้วิธีนี้วิธีเดียวกับอีกกลุ่มหนึ่งที่ใช้วิธีนี้และมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมด้วยจะมีจำนวนรวม 228 คน (29.23%)วิธีที่นักศึกษาที่ทำผิดใช้มากเป็นอันดับที่ 3 คือ วิธีแทนค่า ซึ่งมีการสมมุติ u ถูกต้อง แต่ไม่สามารถดำเนินการจนได้คำตอบที่ถูก เมื่อรวมนักศึกษากลุ่มที่ใช้วิธีนี้อย่างเดียวกับกลุ่มที่ใช้วิธีเดียวกันแต่มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมด้วย จะมีจำนวนรวม 160 คน (20.51%)สำหรับนักศึกษาที่ใช้วิธีแยกส่วน มีจำนวนน้อยกว่า 3 วิธีที่กล่าวข้างต้น โดยเมื่อรวมนักศึกษากลุ่มที่ใช้วิธีแยกส่วนอย่างเดียว กับกลุ่มที่ใช้วิธีแยกส่วนซึ่งมีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมด้วย จะมีจำนวนรวม 136 คน (17.44%)
ข้อมูลของตารางที่ 4 แสดงว่านักศึกษาที่มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมมีจำนวนรวม 212 คน (27.18%)เนื่องจากวิธีแทนค่าเป็นวิธีที่ให้คำตอบถูกต้องเร็วกว่าวิธีแยกส่วน คณะผู้สอนจึงคาดว่าจะเป็นวิธีที่นักศึกษาจะใช้ทำข้อสอบข้อนี้ ซึ่งพบว่าเป็นจริงตามคาด เพราะนักศึกษาที่ใช้วิธีแยกส่วนมีน้อยมากดังกล่าวข้างต้น และพบว่านักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มแทบทุกคนใช้วิธีแทนค่า เมื่อรวมจำนวนนักศึกษากลุ่มที่ได้คะแนนเต็มดังกล่าว กับ กลุ่มที่ใช้วิธีแทนค่า ที่มีการสมมุติ u ถูกต้อง โดยเริ่มต้นถูกแต่ไม่สามารถทำต่อจนได้คำตอบที่ถูกต้อง พบว่ามีจำนวนทั้งสิ้น 348 คน (35.95% ของนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนี้ หรือ คิดเป็น 25.36% ของนักศึกษาที่เข้าสอบ) 1.4 ข้อสอบอัตนัยข้อที่ 3. วัดความรู้การหาปริพันธ์ที่มีการจัดรูปพหุนาม (ไม่ได้ใช้เทคนิคใด ๆ) โดยในการหาคำตอบต้องคูณพหุนาม แล้วหารพหุนาม จากนั้นจึงหาปริพันธ์ นักศึกษาที่ทำโจทย์ข้อนี้มีจำนวน 1,023 คน (75.22% ของนักศึกษาที่เข้าสอบ) ในกลุ่มผู้ที่ทำข้อสอบ นักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มมี 124 คน (12.02%) น้อยกว่าร้อยละของนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มในสองข้อแรก นักศึกษาที่ทำผิดมี 908 คน (87.98%) การวิเคราะห์ข้อมูลของกลุ่มที่ทำโจทย์ข้อนี้ผิด พิจารณาข้อมูลของวิธีที่ใช้ 2 วิธี และ ศึกษาด้วยว่า มีนักศึกษาที่ทำผิดเพราะการคูณพหุนามหรือไม่ เมื่อนักศึกษาคูณพหุนามถูกต้องแล้ว ต่อมาพิจารณาว่า นักศึกษาหารพหุนามได้ถูกต้องหรือไม่ เมื่อนักศึกษาคูณและหารพหุนามได้ถูกต้อง จึงจะพิจารณาว่าที่ทำผิดเป็นเพราะการหาปริพันธ์ในขั้นตอนสุดท้าย สำหรับวิธีอื่น ๆ ที่นักศึกษาใช้ จะหมายถึงวิธีที่ไม่ใช้การคูณแล้วหารพหุนามก่อนการหาปริพันธ์ ซึ่งถ้านักศึกษาใช้วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากที่กล่าวมาแล้ว จะไม่สามารถหาคำตอบที่ถูกต้องได้เลย ตารางที่ 5 แสดงจำนวนและร้อยละของนักศึกษาในแต่ละกรณีดังกล่าว ตารางที่ 5 จำนวนและร้อยละของนักศึกษาที่ใช้วิธีต่าง ๆ คิดจากนักศึกษาที่ไม่ได้คะแนนเต็ม ในการ ทำข้อสอบอัตนัย ข้อที่ 3. นักศึกษาจำนวน 908 คน
ประเภทของข้อมูลจำนวน ร้อยละ อันดับที่
นักศึกษาที่ใช้· วิธีที่มีหลักฐานว่าผิดเพราะการหารพหุนาม 349 38.44 1
· วิธีที่มีหลักฐานว่าผิดเพราะการคูณพหุนาม236 25.99 2
· วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากการคูณและหารพหุนามก่อน แล้วหาปริพันธ์209 23.02 3
· วิธีที่มีหลักฐานว่าผิดที่การหาปริพันธ์หลังจากการคูณ และหารพหุนาม114 12.56 4
รวม908 100.00
ผลการวิเคราะห์ข้อมูลของนักศึกษาที่ทำผิด แสดงว่า วิธีที่นักศึกษาใช้มากเป็นอันดับที่ 1 คือ วิธีที่มีหลักฐานว่าผิดเพราะการหารพหุนาม โดยมีนักศึกษาที่ใช้วิธีนี้จำนวน 349 คน (38.44%) อันดับที่ 2 คือ วิธีที่มีหลักฐานว่าผิดเพราะการคูณพหุนาม (จำนวน 236 คน หรือ 25.99%) อันดับที่ 3 คือ วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากการคูณและหารพหุนามก่อนแล้วหาปริพันธ์ (จำนวน 209 คน หรือ 23.02%) และ อันดับที่ 4 คือ วิธีที่มีหลัก ฐานว่าผิดที่การหาปริพันธ์หลังจากการคูณ และหารพหุนาม (จำนวน 114 คน 12.56%) โดยพบว่า ถ้ารวมจำนวนนักศึกษาที่มีปัญหาด้านการคูณและการหารพหุนาม จะมีจำนวนถึง 585 คน (64.43%) เมื่อรวมจำนวนนักศึกษาที่ใช้วิธีที่ถูกต้อง คือ คูณและหารพหุนามแล้วหาปริพันธ์ โดยรวมกลุ่มที่ทำจนได้คำตอบถูกต้อง กับกลุ่มที่ใช้วิธีเดียวกันแต่ผิดที่การคูณพหุนาม หรือ ผิดที่การหารพหุนาม หรือ ผิดที่การหาปริพันธ์ในขั้นสุดท้าย จะมีนักศึกษารวมทั้งสิ้น 823 คน (80.45% ของนักศึกษาที่ทำข้อสอบข้อนี้ หรือ คิดเป็น 59.99% ของนักศึกษาที่เข้าสอบ) 1.5 เมื่อวิเคราะห์สาเหตุที่นักศึกษาใช้วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีที่จะให้คำตอบถูกต้อง ในการทำข้อสอบแบบอัตนัยแต่ละข้อ โดยวิเคราะห์จากงานของนักศึกษา พบหลักฐานที่ทำให้สันนิษฐานได้ว่านักศึกษาเลือกใช้วิธีเหล่านี้เพราะสาเหตุดังนี้ ตารางที่ 6 ผลการวิเคราะห์สาเหตุที่นักศึกษาเลือกใช้วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีที่จะให้คำตอบถูกต้อง ในการทำข้อสอบแบบอัตนัย
ข้อที่สาเหตุที่เลือกใช้วิธีอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีที่จะให้คำตอบถูกต้อง
1.· ขาดความเข้าใจเรื่องฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากนักศึกษาหาปริพันธ์ทุกแห่งที่มีตัวแปร โดยมองข้ามชื่อของฟังก์ชันที่อยู่ร่วมกับตัวแปร· บิดเบือนสมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต โดยหาปริพันธ์ของผลคูณของ 2 ฟังก์ชัน โดยการนำปริพันธ์ของแต่ละฟังก์ชันมาคูณกัน· ขาดความเข้าใจในการประยุกต์เทคนิคต่าง ๆ กับโจทย์
2.· ขาดความเข้าใจเรื่องฟังก์ชันลอการิทึม โดยพบว่ากลุ่มที่ใช้วิธีนี้ มีหลักฐานความเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึมมากที่สุด เนื่องจากนำตัวแปรในฟังก์ชัน กับตัวแปรในตัวส่วนมาหารกัน· บิดเบือนสมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต โดยเปลี่ยนโจทย์จากการหาปริพันธ์ของผลหาร เป็นการหาปริพันธ์ของผลคูณของ 2 ฟังก์ชัน จากนั้นหาปริพันธ์ของแต่ละฟังก์ชัน แล้วนำมาคูณกัน· ขาดความเข้าใจในการประยุกต์เทคนิคต่าง ๆ กับโจทย์
3.· ขาดทักษะการหาปริพันธ์ระดับพื้นฐานที่ยังไม่ต้องใช้เทคนิคใด ๆ โดยมีความพยายามใช้เทคนิคต่าง ๆ ได้แก่ เศษส่วนย่อย แทนค่า และ แยกส่วน เป็นต้น· มีความเข้าใจผิดว่าการหาปริพันธ์ของผลหารของพหุนามต้องหาโดยวิธีเศษส่วนย่อยเท่านั้น (พิจารณาจากนักศึกษาจำนวนมากที่พยายามใช้วิธีนี้)· บิดเบือนสมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต โดยเปลี่ยนโจทย์จากการหาปริพันธ์ของผลหาร เป็นการหาปริพันธ์ของผลคูณของ 2 ฟังก์ชัน จากนั้นหาปริพันธ์ของแต่ละฟังก์ชัน แล้วนำมาคูณกัน· ขาดความเข้าใจในการหาปริพันธ์ โดยยังจำแนกไม่ได้ว่าเมื่อใดจึงต้องใช้เทคนิค
1.6 การศึกษางานของนักศึกษาในการทำข้อสอบแบบอัตนัย โดยเป็นงานที่เริ่มต้นถูกวิธี แต่นักศึกษาไม่สามารถดำเนินการจนได้คำตอบที่ถูกต้อง พบว่ามีหลักฐานเชื่อมโยงไปยังสาเหตุต่าง ๆ ดังนี้ ตารางที่ 7 ผลการวิเคราะห์สาเหตุที่นักศึกษาที่เริ่มต้นถูกวิธี ไม่สามารถดำเนินการจนได้คำตอบที่ถูกต้อง ในการทำข้อสอบแบบอัตนัย
ข้อที่วิธีที่ศึกษาสาเหตุที่ไม่สามารถดำเนินการจนได้คำตอบที่ถูกต้อง
1.แยกส่วนที่มี u และ dvถูกต้อง· ผิดในกระบวนการสร้างตารางเพื่อหา du และ v ตามขั้นตอนของการแยกส่วน โดยคิดว่า ต้องหาอนุพันธ์จนช่องซ้ายของบรรทัดสุดท้าย เป็น 0 หรือ 1· ไม่สามารถหาอนุพันธ์ (เพื่อหา du ) และ ไม่สามารถหาปริพันธ์ (เพื่อหา v ) ที่ถูกต้อง· ผิดที่การหาปริพันธ์ขั้นสุดท้าย เนื่องจากไม่หารพหุนามก่อน· ผิดที่พื้นฐานด้านพีชคณิต คือ การคูณเศษส่วนในขั้นตอนสุดท้าย
2.แทนค่าที่มี u ถูกต้อง· ผิดที่การหาอนุพันธ์ เพื่อหา du เนื่องจากสูตรผิด· ผิดที่พื้นฐานด้านฟังก์ชัน คือ การแทนค่าด้วยฟังก์ชันกลับในขั้นตอนสุดท้าย
แยกส่วนที่มี u และ dvถูกต้อง· ผิดที่การหาอนุพันธ์ เพื่อหา du เนื่องจากสูตรผิด หรือ นำสูตรมาใช้อย่างผิดเงื่อนไข· ผิดที่พื้นฐานด้านพีชคณิต คือ ไม่สามารถแก้สมการเพื่อหาคำตอบในขั้นสุดท้าย
3.คูณและหารพหุนามก่อนแล้วหาปริพันธ์· ผิดที่พื้นฐานด้านพีชคณิต คือ การคูณพหุนาม· ผิดที่พื้นฐานด้านพีชคณิต คือ การหารพหุนาม· ผิดที่พื้นฐานด้านพีชคณิตที่เครื่องหมายบวก หรือ ลบ ที่ได้จากการคูณพหุนามกับจำนวนบวกหรือจำนวนลบ
1.7 การวิเคราะห์ค่าความยากง่ายและค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบอัตนัยรายข้อ ได้ผลการวิเคราะห์ดังในตารางที่ 8 ตารางที่ 8 ค่าความยากง่ายและค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบอัตนัย
ข้อที่เนื้อหาความยากง่ายอำนาจจำแนก
ค่าความยากง่ายความหมายค่าอำนาจจำแนกความหมาย
1.การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน0.22ค่อนข้างยาก0.73ดีมาก
2.การหาปริพันธ์โดยแทนค่า และการหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน0.14ยากมาก0.49ดี
3.การหาปริพันธ์ที่มีการจัดรูปพหุนาม(ไม่ได้ใช้เทคนิคใด ๆ)0.09ยากมาก0.32พอใช้
ข้อมูลในตารางที่ 8 แสดงว่าค่าความยากง่ายของข้อสอบแต่ละข้ออยู่ในช่วง 0.09 0.22 ซึ่งมีความหมายว่า ข้อสอบค่อนข้างยากถึงยากมาก ค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบแต่ละข้อ อยู่ในช่วง 0.32 0.73 ซึ่งมีความหมายว่าข้อสอบสามารถจำแนกนักศึกษาตามระดับความรู้ในระดับตั้งแต่ พอใช้ได้จนถึงดีมาก เมื่อพิจารณาความยากง่าย ควบคู่กับอำนาจจำแนกของข้อสอบ พบว่า มีข้อสอบที่อยู่ในเกณฑ์ ค่อนข้างยาก อำนาจจำแนกดีมาก จำนวน 1 ข้อ ยากมาก อำนาจจำแนกดี จำนวน 1 ข้อ และ ยากมาก อำนาจจำแนกพอใช้ จำนวน 1 ข้อ 2. การวิเคราะห์ข้อสอบปรนัย 2.1 ข้อสอบปรนัยที่วัดความรู้หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์มีจำนวน 10 ข้อ ข้อมูลรายข้อสำหรับร้อยละของนักศึกษาที่ตอบถูก ร้อยละของนักศึกษาที่ตอบผิดที่เลือกตัวเลือกต่าง ๆ แสดงไว้ในตารางที่ 9 ต่อไปนี้ ตารางที่ 9 ร้อยละของนักศึกษาที่ตอบถูก ร้อยละของนักศึกษาที่ตอบผิดที่เลือกตัวเลือกต่าง ๆ ของข้อสอบปรนัย จำนวนนักศึกษาเข้าสอบ 1,372 คน
ข้อที่จำนวนที่ตอบร้อยละที่ตอบถูกร้อยละที่ตอบผิด จำแนกตามตัวเลือกร้อยละที่ไม่ตอบ
1)2)3)4)
1.1,195 16.2311.8845.1026.78*12.90
2.1,198 40.1522.7024.54*12.6012.68
3.1,217 20.0557.85*11.7510.3511.30
4.1,197 32.5023.9812.28*31.2412.76
5.1,203 18.2926.1036.1619.45*12.32
6.1,251 38.3727.3418.31*15.998.82
7.1,266 15.2430.6414.1439.97*7.73
8.1,032 44.8614.53*20.6419.9624.71
9.1,005 14.13*29.5524.2832.0426.68
10.900 39.4422.67*26.0011.8934.40
หมายเหตุ * หมายถึง ตัวเลือกที่เป็นคำตอบ ร้อยละของนักศึกษาที่เลือกตัวเลือกนี้ปรากฏในช่อง ร้อยละที่ตอบถูก จากตารางที่ 9 ร้อยละของนักศึกษาที่ตอบถูกในแต่ละข้ออยู่ในช่วงร้อยละ 14.13 44.86 ของนักศึกษาที่ทำข้อสอบแต่ละข้อ และร้อยละของนักศึกษาที่ไม่ตอบในแต่ละข้ออยู่ในช่วงร้อยละ 7.73 34.40 2.2 การวิเคราะห์ค่าความยากง่ายและค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบปรนัยทั้ง 10 ข้อ ได้ผลการวิเคราะห์ ดังแสดงในตารางที่ 10 ตารางที่ 10 ค่าความยากง่ายและค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบปรนัย
ข้อที่เนื้อหาความยากง่ายอำนาจจำแนก
ค่าความยากง่ายความหมายค่าอำนาจจำแนกความหมาย
1.การหาปริพันธ์โดยแทนค่า0.16ยากมาก0.25พอใช้
2.การหาปริพันธ์โดยแทนค่า0.39ค่อนข้างยาก0.50ดี
3.การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน0.21ค่อนข้างยาก0.30พอใช้
4.การหาปริพันธ์เมื่อปริพัทธ์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ0.32ค่อนข้างยาก0.46ดี
5.การหาปริพันธ์เมื่อปริพัทธ์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ0.18ยากมาก0.28พอใช้
6.การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ0.36ค่อนข้างยาก0.31พอใช้
7.การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ0.18ยากมาก0.32พอใช้
8.การหาปริพันธ์โดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ0.34ค่อนข้างยาก0.36พอใช้
9.การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย0.12ยากมาก0.12ค่อนข้างต่ำ
10.การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย0.29ค่อนข้างยาก0.35พอใช้
จากตารางที่ 10 ค่าความยากง่ายของข้อสอบปรนัยอยู่ในช่วง 0.12 0.39 ซึ่งมีข้อสอบที่ค่อนข้างยาก จำนวน 6 ข้อ ข้อสอบที่ยากมาก จำนวน 4 ข้อ ส่วนค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบแต่ละข้อ อยู่ในช่วง 0.12 0.50 โดยมีความหมายว่า ข้อสอบมีอำนาจจำแนก ค่อนข้างต่ำ จำนวน 1 ข้อ พอใช้ จำนวน 7 ข้อ และ ดี จำนวน 2 ข้อ เมื่อพิจารณา ความยากง่ายและอำนาจจำแนกควบคู่กัน พบว่ามีข้อสอบที่อยู่ในเกณฑ์ ค่อนข้างยาก อำนาจจำแนกดี จำนวน 2 ข้อ ค่อนข้างยาก อำนาจจำแนกพอใช้ จำนวน 4 ข้อ ยากมาก อำนาจจำแนกพอใช้ จำนวน 3 ข้อ และ ยากมาก อำนาจจำแนกค่อนข้างต่ำ จำนวน 1 ข้อ 2.2 จากผลการทำข้อสอบปรนัยแต่ละข้อของนักศึกษาที่ทำผิด เมื่อนำมาวิเคราะห์ที่มาของตัวเลือกที่ผิด เพื่อศึกษาวิธีหาคำตอบของนักศึกษาซึ่งทำให้ได้คำตอบที่เป็นตัวเลือกเหล่านี้ ผลการวิเคราะห์สรุปไว้ในตารางที่ 11 ตารางที่ 11 การวิเคราะห์ตัวเลือกที่ผิดที่นักศึกษาใช้ในการทำข้อสอบปรนัย เรียงอันดับตามร้อยละ ของนักศึกษาที่เลือกวิธีนั้น ๆ
ข้อที่ตัวเลือกที่สาเหตุที่เป็นตัวเลือกผิดร้อยละที่เลือก
1.2)ผิดที่การแยกตัวประกอบ หรือที่การแก้สมการ แบบที่ 1 (พื้นฐานด้านพีชคณิต)45.10
3)ผิดที่ใช้ข้อมูลจากโจทย์ไม่ครบ และ/หรือผิดที่การแยกตัวประกอบ หรือที่การแก้สมการ แบบที่ 2 (พื้นฐานด้านพีชคณิต)26.78
1)ผิดที่การแยกตัวประกอบ หรือที่การแก้สมการ แบบที่ 3 (พื้นฐานด้านพีชคณิต)11.88
2.2)สูตรที่ใช้ผิด และ/หรือไม่สามารถจำแนกตัวแปรและค่าคงตัว (ใช้ข้อมูลจากโจทย์ไม่ครบ)24.54
1)ผิดที่การแก้สมการ (พื้นฐานด้านพีชคณิต) และ/หรือไม่สามารถจำแนกตัวแปรและค่าคงตัว (ใช้ข้อมูลจากโจทย์ไม่ครบ)22.70
4)สูตรที่ใช้ผิด และ ผิดที่การแก้สมการ (พื้นฐานด้านพีชคณิต) และไม่สามารถจำแนกตัวแปรและค่าคงตัว (ใช้ข้อมูลจากโจทย์ไม่ครบ)12.60
3.1)ผิดที่การแก้สมการ (พื้นฐานด้านพีชคณิต) หรือ หาปริพันธ์แยกส่วนไม่ครบ2 รอบ57.85
3)สูตรที่ใช้ผิด (แบบที่ 1)11.75
4)สูตรที่ใช้ผิด (แบบที่ 2) และ/หรือผิดที่การแก้สมการ (พื้นฐานด้านพีชคณิต)10.35
4.4)สูตรที่ใช้ผิด และ/หรือ ผิดที่การจัดรูป (พื้นฐานด้านพีชคณิต) แบบที่ 131.24
1)สูตรที่ใช้ผิด และ/หรือ ผิดที่การจัดรูป (พื้นฐานด้านพีชคณิต) แบบที่ 223.98
2)สูตรที่ใช้ผิด12.28
5.2)เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ใช้ผิด และ/หรือท่องจำคำตอบและนำมาใช้โดยไม่ได้พิจารณาว่าสอดคล้องกับโจทย์36.16
1)สูตรที่ใช้ผิด แบบที่ 1 และ ไม่เข้าใจหลักการของการหาปริพันธ์โดยแทนค่า26.10
3)สูตรที่ใช้ผิด แบบที่ 219.45
6.1)ผิดที่อ่านโจทย์ไม่ละเอียด (โจทย์มีคำว่า ไม่) แบบที่ 127.34
2)ผิดที่อ่านโจทย์ไม่ละเอียด (โจทย์มีคำว่า ไม่) แบบที่ 218.31
4)ผิดที่อ่านโจทย์ไม่ละเอียด (โจทย์มีคำว่า ไม่) แบบที่ 315.99
7.3)ผิดที่การกำหนด u และ dv ซึ่งไม่สอดคล้องกับการใช้วิธีแยกส่วน39.97
1)ผิดที่การกำหนด u ซึ่งไม่สอดคล้องกับการใช้วิธีแทนค่า (แบบที่ 1)30.64
2)ผิดที่การกำหนด u ซึ่งไม่สอดคล้องกับการใช้วิธีแทนค่า (แบบที่ 2)14.14
ข้อที่ตัวเลือกที่สาเหตุที่เป็นตัวเลือกผิดร้อยละที่เลือก
8.3)ผิดที่การเลือกเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาใช้ในโจทย์ เพราะเอกลักษณ์นี้จะไม่สามารถนำไปสู่การหาคำตอบได้เลย20.64
4)ผิดที่การหาอนุพันธ์ และ/หรือ ผิดที่การถอดรากที่สอง (พื้นฐานด้านพีชคณิต)19.96
1)เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ใช้ผิด14.53
9.4)นำสูตรมาใช้อย่างผิดเงื่อนไข 2 แห่ง32.04
2)ผิดที่การหาปริพันธ์ของพจน์ที่สอง การหาเศษส่วนย่อย (พื้นฐานด้านพีชคณิต)และ/หรือ ผิดที่การกระจายพหุนาม (พื้นฐานด้านพีชคณิต)29.55
3)นำสูตรมาใช้อย่างผิดเงื่อนไข 1 แห่ง24.28
10.3)ผิดที่การหาเศษส่วนย่อย (พื้นฐานด้านพีชคณิต) แบบที่ 126.00
1)ผิดที่การแก้สมการ (พื้นฐานด้านพีชคณิต)22.67
4)ผิดที่การหาเศษส่วนย่อย (พื้นฐานด้านพีชคณิต) แบบที่ 211.89

ประโยชน์

สรุปและข้อเสนอแนะ การวิจัยเรื่องนี้ศึกษาข้อผิดพลาดของนักศึกษาในการทำโจทย์คณิตศาสตร์หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์ โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อหาว่าข้อผิดพลาดที่พบมีรูปแบบร่วมกันแบบใดบ้าง และ เพื่อให้ข้อเสนอแนะในการพัฒนาปรับปรุงการเรียนการสอนหัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์โดยพิจารณาจากรูปแบบข้อผิดพลาดที่พบข้อสอบที่นำมาศึกษาประกอบด้วยข้อสอบแบบอัตนัย จำนวน 3 ข้อ และ ข้อสอบแบบปรนัย จำนวน 10 ข้อ ข้อสอบทั้งหมดเป็นส่วนหนึ่งในข้อสอบประจำภาคการศึกษา 1/2550 ของวิชา MATH0110 Mathematics I (Lec) จำนวนนักศึกษาที่ทำข้อสอบรวมทั้งสิ้น 1,372 คน การศึกษาข้อผิดพลาดจากข้อสอบแบบอัตนัย ดำเนินการเป็นรายข้อ โดยกำหนดวิธีที่คาดว่านักศึกษาที่ทำผิดจะใช้ในการทำข้อสอบ และบางข้อได้กำหนดพื้นฐานความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่จะเก็บข้อมูลข้อผิดพลาดด้วย ส่วนการศึกษาข้อผิดพลาดจากข้อสอบแบบปรนัย ดำเนินการจากการเก็บข้อมูลการเลือกตัวเลือกทั้งหมด และสำหรับข้อผิดพลาดได้ศึกษาตัวเลือกที่เป็นตัวเลือกผิด โดยวิเคราะห์หาสาเหตุของความผิดพลาดของตัวเลือกนั้น ๆ จากนั้นนำผลของการวิเคราะห์ที่ได้มาจัดกลุ่มตามประเภทของข้อผิดพลาด

การวิเคราะห์ข้อมูลสำหรับข้อสอบแบบอัตนัยประกอบด้วย การหาจำนวนและร้อยละของนักศึกษาที่ทำข้อสอบแต่ละข้อเทียบกับนักศึกษาที่เข้าสอบ จำนวนและร้อยละของผู้ตอบถูกและผู้ตอบผิดเทียบกับนักศึกษาที่ทำข้อสอบแต่ละข้อ จำนวนและร้อยละของผู้ที่พบหลักฐานว่าผิดในแต่ละวิธี หรือ พื้นฐานคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้ เทียบกับผู้ที่ตอบผิดในข้อนั้น ๆ สำหรับข้อสอบแบบปรนัยมีการวิเคราะห์สาเหตุของตัวเลือกที่ผิด นอกจากนั้นมีการหาค่าความยากง่าย และค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบรายข้อ สำหรับข้อสอบทั้งหมด

ผลการวิเคราะห์ข้อมูลสรุปได้ดังนี้ 1. ข้อสอบเนื้อหาเทคนิคการหาปริพันธ์อยู่ในระดับค่อนข้างยาก ถึง ยากมาก และเมื่อนำข้อสอบทั้งอัตนัยและปรนัย จำนวน 13 ข้อ มาพิจารณาค่าความยากง่ายของข้อสอบควบคู่กับค่าอำนาจจำแนก พบว่า มีข้อสอบที่ ค่อนข้างยาก อำนาจจำแนกดี จำนวน 3 ข้อ ค่อนข้างยาก อำนาจจำแนกพอใช้ จำนวน 4 ข้อ ยากมาก อำนาจจำแนกดี จำนวน 1 ข้อ ยากมาก อำนาจจำแนกพอใช้ จำนวน 4 ข้อ และ ยากมาก อำนาจจำแนกค่อนข้างต่ำ จำนวน 1 ข้อ 2. ผลการวิเคราะห์การทำข้อสอบแบบอัตนัยของนักศึกษา พบว่า นักศึกษาที่ได้คะแนนเต็มในแต่ละข้อมีน้อยมาก คือ อยู่ในช่วง 9.04% – 21.65% ของจำนวนนักศึกษาที่เข้าสอบ ถ้าตั้งคำถามว่า นักศึกษาทราบวิธีหรือเทคนิคที่ถูกต้องในการหาคำตอบของโจทย์หรือไม่ สามารถตอบคำถามนี้โดยนำจำนวนนักศึกษาที่ได้คะแนนเต็ม รวมกับ จำนวนนักศึกษาที่ใช้วิธีหรือเทคนิคที่ถูกต้องในการทำโจทย์ แต่ไม่สามารถดำเนินการจนได้คำตอบที่ถูกต้อง ได้ผลดังแสดงในตารางต่อไปนี้ ตารางที่ 12 ร้อยละของนักศึกษาที่รู้วิธีหรือเทคนิคที่ถูกต้องในการทำข้อสอบแบบอัตนัย
ข้อที่วิธี หรือ เทคนิคร้อยละของนักศึกษาที่ทำข้อสอบร้อยละของนักศึกษาที่ไม่ทำข้อสอบร้อยละที่ถูก เทียบกับร้อยละที่รู้วิธีหรือเทคนิคที่ถูกต้อง เทียบกับ
กลุ่มที่ทำกลุ่มเข้าสอบกลุ่มที่ทำกลุ่มเข้าสอบ
1.แยกส่วน82.2217.7826.3321.6554.7044.97
2.แทนค่า*70.5529.4519.4213.7035.9525.36
3.ไม่ใช้เทคนิคใด ๆ75.2224.7812.029.0480.4559.99
หมายเหตุ * ข้อ 2 เก็บข้อมูลเฉพาะวิธีแทนค่า เนื่องจากเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับข้อนี้ ข้อสรุปที่พบจากตารางที่ 12 คือ จากกลุ่มนักศึกษาที่เข้าสอบทั้งหมด นักศึกษาที่ทราบว่าข้อสอบ ข้อที่ 1.ต้องใช้เทคนิคแยกส่วนมีร้อยละ 44.97 นักศึกษาที่ทราบว่าข้อสอบ ข้อที่ 2. ต้องใช้เทคนิคแทนค่ามีร้อยละ 25.36 และ นักศึกษาที่ทราบว่าข้อสอบ ข้อที่ 3. ใช้การหาผลคูณ ผลหารพหุนาม แล้วหาปริพันธ์ นั่นคือ ไม่ต้องใช้เทคนิคใดในการหาปริพันธ์มีร้อยละ 59.99 ซึ่งมากที่สุดในบรรดาข้อสอบทั้ง 3 ข้อ แสดงว่า นักศึกษาพอจะจำแนกโจทย์ที่ไม่ต้องใช้เทคนิคใด ๆ ได้ แต่สำหรับโจทย์ที่ต้องใช้เทคนิคการหาปริพันธ์ ยังไม่สามารถเลือกใช้เทคนิคที่ถูกต้อง 3. เมื่อประมวลข้อผิดพลาดที่พบจากการทำข้อสอบแบบอัตนัยของนักศึกษา โดยรวมข้อผิดพลาดของนักศึกษาทั้งหมดที่ไม่ได้คะแนนเต็ม และนำข้อผิดพลาดมาจัดประเภทตามรูปแบบที่พบ คือ พื้นฐานด้านพีชคณิต พื้นฐานด้านฟังก์ชัน ขั้นตอนวิธี สูตรและสมบัติทางคณิตศาสตร์ สามารถสรุปผลได้ดังตารางต่อไปนี้


ตารางที่ 13 ประเภทและหัวข้อย่อยของข้อผิดพลาดในการทำข้อสอบแบบอัตนัย
ประเภทของข้อผิดพลาดหัวข้อย่อย
พื้นฐานด้านพีชคณิต· การแก้สมการ· การคูณพหุนาม· การหารพหุนาม· การคูณเศษส่วนของพหุนาม
พื้นฐานด้านฟังก์ชัน· ฟังก์ชันลอการิทึม· การแทนค่าด้วยฟังก์ชัน
ขั้นตอนวิธี· เทคนิค หรือ วิธีที่จะใช้ในการทำข้อสอบแต่ละข้อ· ทักษะการหาอนุพันธ์และปริพันธ์ระดับพื้นฐาน· วิธีแยกส่วน- การสมมุติ u และ dv- การสร้างตารางของวิธีลัด- การหาอนุพันธ์ เพื่อหา du - การหาปริพันธ์ เพื่อหา v- การหาปริพันธ์ในขั้นสุดท้าย· วิธีแทนค่า- การสมมุติ u- การหาอนุพันธ์เพื่อหา du - การแก้สมการเพื่อหา dx- การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันของ u- การแทนค่ากลับเป็นฟังก์ชันของ x ในขั้นสุดท้าย
สูตรและสมบัติทางคณิตศาสตร์· การใช้สูตรอย่างผิดเงื่อนไข· สูตรที่ใช้ผิด· บิดเบือนสมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
4. ผลการวิเคราะห์สาเหตุจากตัวเลือกที่ผิดในการทำข้อสอบแบบปรนัย และนำความถี่ของสาเหตุที่ทำให้ผิดพลาดมาจัดประเภทตามข้อผิดพลาดที่พบ คือ พื้นฐานด้านพีชคณิต ขั้นตอนวิธี สูตรและเอกลักษณ์ และพื้นฐานด้านฟังก์ชัน พบว่าข้อผิดพลาดแต่ละประเภทมีรายละเอียดและความถี่ดังนี้


ตารางที่ 14 ประเภท หัวข้อย่อย และ ความถี่ของข้อผิดพลาดในการทำข้อสอบแบบปรนัย
ประเภทของข้อผิดพลาดหัวข้อย่อยความถี่ของข้อผิดพลาดที่พบ
พื้นฐานด้านพีชคณิต· การแก้สมการ8
· การแยกตัวประกอบ3
· การหาเศษส่วนย่อย3
· การจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย2
· การกระจายพหุนาม1
รวม18
ขั้นตอนวิธี· ใช้ข้อมูลในโจทย์ไม่ครบ4
· อ่านโจทย์ไม่ละเอียด3
· ผิดที่การหาอนุพันธ์1
· ผิดที่การหาปริพันธ์1
· ท่องคำตอบ1
วิธีแทนค่า
· ผิดที่การกำหนด u2
· ไม่เข้าใจหลักการ1
วิธีแยกส่วน
· ผิดที่การกำหนด u และ dv1
· ทำไม่ครบ 2 รอบ1
รวม15
สูตรและเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ· สูตรที่ใช้ผิด9
· เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ใช้ผิด2
· ใช้สูตรอย่างผิดเงื่อนไข2
· ผิดที่การเลือกเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาใช้ในโจทย์1
รวม14
พื้นฐานด้านฟังก์ชัน· การถอดรากที่ 2 ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
รวม1
จากตารางที่ 14 จะเห็นว่านักศึกษามีข้อผิดพลาดในการทำข้อสอบแบบปรนัยที่เกิดจากพื้นฐานด้านพีชคณิตมากหัวข้อที่สุด ข้อผิดพลาดด้านขั้นตอนวิธีมีหัวข้อมากพอ ๆ กับ ข้อผิดพลาดด้านสูตรและสมบัติทางคณิตศาสตร์ นอกจากนั้นยังมีข้อผิดพลาดที่เกิดจากพื้นฐานด้านฟังก์ชันด้วย


ข้อเสนอแนะ จากรูปแบบข้อผิดพลาดและหัวข้อย่อยภายใต้ประเภทต่าง ๆ ที่วิเคราะห์ได้จากการทำข้อสอบแบบอัตนัยและแบบปรนัยที่วัดความรู้หัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์ ข้อเสนอแนะเพื่อพัฒนาปรับปรุงการเรียนการสอนจัดทำในรูปตาราง จำแนกตามเทคนิคหรือวิธีต่าง ๆ ดังต่อไปนี้ ตารางที่ 15 ข้อเสนอแนะสำหรับการพัฒนาและปรับปรุงการเรียนการสอนเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดของ นักศึกษาในหัวข้อเทคนิคการหาปริพันธ์
วิธีรูปแบบข้อผิดพลาดและหัวข้อย่อยข้อเสนอแนะ
ทุกวิธีØ พื้นฐานด้านพีชคณิต - การแก้สมการ - การคูณพหุนาม - การหารพหุนาม - การคูณเศษส่วนของพหุนาม - การแยกตัวประกอบ - การหาเศษส่วนย่อย - การจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย· ทบทวนและเน้นพื้นฐานด้านพีชคณิต ในการเรียนการสอนวิชา Mathematics I (Plus)· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
Ø พื้นฐานด้านฟังก์ชัน - ฟังก์ชันลอการิทึม - การแทนค่าด้วยฟังก์ชัน - การถอดรากที่สองของฟังก์ชัน· ทบทวนและเน้นฟังก์ชันทุกชนิด รวมทั้งพีชคณิตของฟังก์ชันในการ เรียนการสอนวิชา Mathematics I (Plus)· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
Ø สูตรอนุพันธ์และปริพันธ์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ สมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต - สูตรที่ใช้ผิด - เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ใช้ผิด - ใช้สูตรอย่างผิดเงื่อนไข - การเลือกเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาใช้ ในโจทย์ - บิดเบือนสมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต· เน้นการท่องสูตรอนุพันธ์และปริพันธ์ ของฟังก์ชันพื้นฐาน รวมทั้งเอกลักษณ์ ตรีโกณมิติอย่างถูกต้อง· ยกตัวอย่างการใช้สูตรอย่างผิดเงื่อนไข หรือ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ผิด เพื่อ หลีกเลี่ยงข้อบกพร่องประเภทนี้· เน้นสมบัติของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต พร้อมยกตัวอย่างการใช้สมบัติทั้งที่ ถูกต้องและที่ผิดเงื่อนไข

ตารางที่ 15 (ต่อ)
วิธีรูปแบบข้อผิดพลาดและหัวข้อย่อยข้อเสนอแนะ
ทุกวิธีØ การใช้ข้อมูลจากโจทย์- อ่านโจทย์ไม่ละเอียด- ใช้ข้อมูลจากโจทย์ไม่ครบ· เน้นและฝึกการอ่านและการใช้ข้อมูลที่ กำหนดให้ในโจทย์
Ø การหาอนุพันธ์Ø การหาปริพันธ์ระดับพื้นฐาน· ทบทวนและเน้นการหาอนุพันธ์และ ปริพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานทุกชนิด· ทบทวนการหาอนุพันธ์โดยใช้กฎลูกโซ่· เน้นการท่องสูตร· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
แทนค่าØ ขั้นตอนวิธี- การสมมุติ u- การหาอนุพันธ์เพื่อหา du- การแก้สมการเพื่อหา dx- การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันของ u- การแทนค่ากลับเป็นฟังก์ชันของ xØ ไม่สามารถจำแนกโจทย์ว่าใช้วิธีนี้· ปรับปรุงตามข้อเสนอแนะสำหรับทุกวิธี· เน้นการทำงานที่ถูกต้องในแต่ละ ขั้นตอน และสำหรับฟังก์ชันทุกชนิด· ฝึกทักษะการทำโจทย์· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
แยกส่วนØ ขั้นตอนวิธี- การสมมุติ u และ dv- การสร้างตารางของวิธีลัด- การหาอนุพันธ์เพื่อหา du- การหาปริพันธ์เพื่อหา v- การหาปริพันธ์ขั้นสุดท้าย- การเขียนคำตอบØ ไม่สามารถจำแนกโจทย์ว่าใช้วิธีนี้· ปรับปรุงตามข้อเสนอแนะสำหรับทุกวิธี· เน้นการทำงานที่ถูกต้องในแต่ละ ขั้นตอน และสำหรับฟังก์ชันทุกชนิด· เน้นรูปแบบของโจทย์ที่ใช้เทคนิคแยก ส่วน· ฝึกทักษะการทำโจทย์· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom

ตารางที่ 15 (ต่อ)
วิธีรูปแบบข้อผิดพลาดและหัวข้อย่อยข้อเสนอแนะ
ปริพัทธ์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติØ สูตรที่ใช้ผิดØ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ใช้ผิดØ ไม่เข้าใจหลักการของการหาปริพันธ์โดยแทนค่าØ ผิดที่การจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย· ปรับปรุงตามข้อเสนอแนะสำหรับทุกวิธี· เชื่อมโยงเนื้อหากับวิธีแทนค่า· เน้นการท่องเอกลักษณ์ตรีโกณมิติเมื่อ สอนวิธีนี้· เน้นการเลือกใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ที่ถูกต้องเมื่อสอนวิธีนี้· ฝึกทักษะการทำโจทย์· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
แทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติØ ไม่สามารถจำแนกโจทย์จากวิธีแทนค่าและวิธีแยกส่วนØ ผิดที่การถอดรากที่สองของฟังก์ชันตรีโกณมิติØ ผิดที่การเลือกเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาใช้· ปรับปรุงตามข้อเสนอแนะสำหรับทุกวิธี· เน้นการจำแนกโจทย์จากวิธีแทนค่า และวิธีแยกส่วน· ทบทวนวิธีหาปริพันธ์เมื่อปริพัทธ์เป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย· เน้นรูปแบบการแทนค่า· ฝึกทักษะการทำโจทย์· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
เศษส่วนย่อยØ ผิดที่การหาเศษส่วนย่อยØ ผิดที่การหาปริพันธ์เมื่อหาเศษส่วนย่อยได้แล้ว· ปรับปรุงตามข้อเสนอแนะสำหรับทุกวิธี· เน้นการคูณพหุนาม· เน้นการหาเศษส่วนย่อย· เน้นการหาปริพันธ์ของเศษส่วนย่อยให้ ครบทุกรูปแบบ· ฝึกทักษะการทำโจทย์· จัดทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกเพิ่มเติมใน e-classroom
ผู้ให้ข้อมูลและการติดต่อ

รศ.ดร.ภัทรกุล จริยวิทยานนท์
หัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์
patrakoo@mut.ac.th